Увлечение новым пониманием предмета математики и ее логического характера шло у «логицистов» рука об руку с энергичным отрицанием интуитивного обоснования математики. Этому отрицанию подверглись не только грубо интуитивная трактовка математики и, в частности, геометрии, предложенная Шопенгауэром, но и учение Канта о пространстве и времени как априорных формах интуиции, на которые, согласно Канту, опираются априорные синтетические суждения в геометрии и арифметике. Кант прямо утверждал в «Критике чистого разума», будто «все геометрические принципы, например, то, что в треугольнике две стороны больше третьей, всегда выводятся из интуиции (aus der Anschauung) a priori с аподиктической достоверностью, но никогда не извлекаются из общих понятий линии и треугольника» (65,39).

Критика кантовского воззрения была критикой недостаточности рационализма в Кантовой теории математики. Критика эта выявила противоречие во взглядах Канта на логическую природу математики. Из некоторых мест второго издания «Критики чистого разума» ясно, что Кант допускал рассудочное происхождение геометрических истин и что в синтетическом единстве пространства он видел результат функции рассудка (см. 65, 160). Однако это признание роли интеллекта и логики в математических исследованиях и доказательствах подавляется у Канта основным для него воззрением, согласно которому априорные синтетические суждения имеют основу в интуиции— в наглядном созерцании. Уже Фреге, высоко оценивший проведенное Кантом различение синтетических и аналитических суждений, тем не менее подверг глубокой критике кантовскую теорию арифметики в своем труде «Основы арифметики» («Grundlagen der Arithmetik», Breslau, 1884; второе издание на немецком и параллельно на английском языках — «Die Grundlagen der Arithmetik» — «The Foundations of Arithmetic», Oxford, 1953).

Таким образом, разработка «логицистического» учения, сводящего математику к чистой логике, оказалась связанной со спором философских направлений. Одно из них восходило к Лейбницу с его аналитической теорией суждения и с его замыслом «Всеобщей характеристики» (алгебры), приложимой ко всем возможным формам дедукции и формализующей все здание науки. Другое имело опору в теории познания Канта — в его классификации суждений на аналитические и синтетические и в «трансцендентальной эстетике» с ее априорными формами пространства и времени, дающими начало различным формам математического созерцания.