Эти задачи такого типа: «Даны два угла с общей вершиной. Один из них равен 100°, другой - 80°. Будут ли эти углы смежными?»

Или: «Даны два угла с общей вершиной, равные друг другу. Будут ли они вертикальными?»

В первой задаче ничего не сказано об общей стороне: есть она у данных углов или ее нет. В силу этого однозначный ответ дать нельзя: если углы имеют общую сторону, то они будут смежными, а если не имеют - то не будут.

Во второй задаче нет данных о сторонах углов: продолжают они друг друга или нет. Если стороны одного продолжают стороны другого, то углы будут вертикальными, а если не продолжают - будут два равных прилежащих угла.

В исследовании М.Б. Воловича, проведенном в ряде московских школ, в том числе в одной школе с математической специализацией, такие задачи были даны 232 хорошо и отлично успевающим ученикам восьмого-девятого классов, обучающихся у восьми разных преподавателей. Около 90% учащихся дали неверные ответы. Они считали, что данные углы подходят под указанные в задачах понятия. На вопрос, почему они считают, что данные углы смежные, учащиеся отвечали: «Потому, что они в сумме составляют 180°». На вопрос, почему они считают, что во второй задаче даны вертикальные углы, отвечали: «Потому что они равные».

 Как видим, школьники опираются не на систему признаков, указанную в определении, а лишь на отдельные признаки. В то же время определение этих понятий они знают. Следовательно, учащиеся определение запомнили, но работать с ним не научились.

Аналогичные ошибки ученики делают и на материале русского языка. Например, на вопрос: «Слово изменяется по падежам, числам. Будет ли оно существительным?» - многие учащиеся отвечают утвердительно, что неверно, так как этими признаками обладает не только существительное, но и прилагательное.

Причина всех этих ошибок - неумение применить логический прием подведения под понятие. Этот прием широко используется в жизненной практике людей, причем человек нередко встречается и с неопределенными ситуациями, когда главный вопрос состоит именно в том, может ли быть решена задача при данных условиях. Примером может служить диагноз врача: чаще всего ошибки объясняются тем, что в ситуации неопределенности, т.е. когда возможны несколько болезней, врач без получения сведений о недостающих признаках ставит диагноз.

Учащиеся допускают еще больше ошибок при выполнении классификаций, при выведении следствий из данных посылок. В то же время, как показывают исследования, многие из этих приемов учащиеся могут успешно усвоить уже в начальной школе, если работу вести планомерно и целенаправленно. Но с чего начать? В каком порядке формировать?