Если между двумя конечными множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие, то эти множества называются равночисленными.

Отношение «быть равночисленными» на множестве всех множеств является рефлексивным, симметричным, транзитивным, а значит, является отношением эквивалентности. Поэтому отношение «быть равночисленным» разбивает множество всех множеств на классы. В эти классы попадут самые различные множества. Общее между ними – одинаковое количество элементов (в класс «5» - 5 цветов, 5 пальцев).

Натуральным числом называют общее свойство класса не пустых, конечных, равночисленных множеств.

Покажем, как операции над числами определяются через операции над множествами.

Обозначим через n(А) количество элементов в множестве А.

Введем операцию сложения над числами через операцию объединения над множествами.

Суммой чисел a и b называется количество элементов в объединении множеств А и В, которое равно

а + b = n(АÈВ) = n(А) + n(В), при условии, что АÇВ = Æ.

Порядковая теория натурального числа.

Джузеппе Пеано, XIX в. Основные понятия: единица (е), операции: непосредственно следовать за, сложение, умножение.

В основе теории – аксиомы Пеано, которые являются свойствами натурального ряда чисел.

1 аксиома. Единица непосредственно не идет ни за каким натуральным числом.

2 аксиома. Любое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом.

3 аксиома. Если к натуральному числу х добавить 1, то получим непосредственно следующее натуральное число х`, т.е. х + 1= х`.

4 аксиома. С помощью добавления единицы к натуральному числу можно получить весь ряд натуральных чисел.

5 аксиома. Если натуральное число х умножить на 1, то получим само натур. число, т.е. х∙1 = х.

х + у` = х + (у + 1) = (х + у) + 1 = (х + у)`

Мы видим, что в количественной теории понятие числа определяется через множество, а операции над числами - через операции над множествами. В порядковой теории дан принцип образования каждого числа, понятие числа определяется через систему аксиом.