Свойство транзитивности. Отношение a на множестве Х называется транзитивным, если для " элементов х, у, z множества Х справедливо утверждение: если х a у, у a z, то х a z.

Например, «если фигура а одинакова по форме с фигурой в, и фигура в одинакова по форме с фигурой с, то фигура а одинакова по форме с фигурой с» - справедливо. Значит, отношение «быть одинаковым по форме» является транзитивным

1.2.4 Отношения эквивалентности и порядка

Любое отношение не может быть одновременно симметричным и антисимметричным, рефлексивным и антирефлексивным, но существуют отношения, которые могут быть одновременно рефлексивными, симметричными, транзитивными.

Определение. Отношение a называется отношением эквивалентности, если оно одновременно является рефлексивным, симметричным, транзитивным.

Отношения, которые близки по смыслу слову «равный» являются эквивалентными. Например, отношение равенства между числами или «быть одинаковой формы» между фигурами.

Определение. Отношение a называется отношением порядка, если оно одновременно является антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным.

Множество, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным.

Все отношения, близкие по смыслу отношению «следовать за» являются отношениями порядка. Например, отношение «<» на множестве чисел («выше» на множестве людей).

1.2.5 Разбиение множества на классы

Пример: рассмотрим множество М– множество разноцветных фигур; подмножество А – множество красных фигур, В – не красные фигуры. А Ì М, В = М \ А, В Ì М М

Подмножества А и В не являются пустыми. Они не пересекаются, и объединение их есть М.

При выполнении этих условий мы говорим, что множество М разбито на 2 класса: красных фигур и не красных

Общее определение. Говорят, что множество М разбито на классы (попарно не пересекающиеся подмножества) если выполнены 3 условия: все подмножества множества М не пусты, все подмножества множества М не пересекаются, объединение всех подмножеств множества М есть само множество М.