Не менее психологически сложными и трудными являются процессы умножения и деления. Умножение в тех случаях, когда оно выходит за пределы известной «таблицы умножения», автоматизированной в прошлом опыте, можно представить состоящим из ряда последовательных операций. Как и другие арифметические операции, оно требует прочного сохранения разрядного строения числа, умения находить внутренний состав числа, учета направления и последовательности расположения чисел, удержания в памяти полученных промежуточных результатов и т.д. Деление, также требуя учета всех перечисленных факторов, является более осознанным процессом по сравнению с умножением, так как умножение в пределах ранее упроченной таблицы может протекать автоматизировано.

Все это становится возможным лишь на основе обучения и специального формирования понятия о числе, которое у взрослого человека становится прочным, а операции с числами — автоматизированными. Психологическая структура счета и счетных операций раскрывается в исследованиях их генеза у ребенка. Установлено, что формирование этих умственных действий проходит ряд этапов — от наглядно-действенной их формы до отвлеченной, протекающей «в уме». Однако даже на самых высоких этапах формирования этих умственных действий — понятия числа и счетных операций — они сохраняют компоненты пространственного числа при определении его значения (Ж. Пиаже, 1965; П.Я. Гальперин, 1953; Н.А. Менчинская, 1955; Л.С. Цветкова, 1972, 1975 и др.; В.В. Давыдов, 1957; Н.И. Непомнящая, 1958; Л.С. Георгиев, I960).

Краткий анализ истории развития числа, его психологического содержания и счетных операций свидетельствует о чрезвычайной сложности описываемого вида интеллектуальной деятельности (ИД), который имеет специфику в психологическом содержании, структуре и закономерностях его протекания. Рассмотрим число и осуществление Числительных операций в контексте строения и протекания ИД.